正交矩阵与实对称矩阵：一个对比研究 (正交矩阵与实对称矩阵的区别)

正交矩阵和实对称矩阵是线性代数中两种重要的矩阵类型，尽管它们有一些共同之处，但它们也有一些关键的区别。

正交矩阵

正交矩阵是其转置等于其逆的方阵。换句话说，对于一个正交矩阵 A，有：

A^T = A^{-1}

这表明正交矩阵保留长度和角度。也就是说，如果将一个向量 v 乘以一个正交矩阵 A，则所得向量 Av 的长度和与 v 相同，并且它们之间的角度也将保持不变。

正交矩阵经常用于旋转和反射等几何变换。

实对称矩阵

实对称矩阵是其转置等于自身的方阵。换句话说，对于一个实对称矩阵 A，有：

A^T = A

这表明实对称矩阵是其本身的对称。也就是说，实对称矩阵的元素沿主对角线对称排列。

实对称矩阵经常用于物理学和工程学中的各种应用，例如振动分析和热传导。

正交矩阵与实对称矩阵的区别

正交矩阵和实对称矩阵之间有几个关键的区别：

• 逆：正交矩阵的逆是其转置，而实对称矩阵的逆不一定是对称的。
• 特征值：正交矩阵的特征值为 ±1，而实对称矩阵的特征值总是实数。
• 相似性：任何实对称矩阵都可以相似对角化为正交矩阵。

示例

以下是一个正交矩阵的示例：

A = [0 1; -1 0]

以下是一个实对称矩阵的示例：

B = [2 3; 3 5]

应用

正交矩阵和实对称矩阵在许多领域都有应用，包括：

• 几何：旋转和反射
• 线性代数：正交基和相似对角化
• 物理学：振动分析和热传导
• 工程学：信号处理和数据分析

结论

正交矩阵和实对称矩阵是线性代数中两种重要的矩阵类型，它们具有不同的特性和应用。正交矩阵用于保留长度和角度，而实对称矩阵用于表示对称关系。通过了解这两种矩阵类型之间的差异，我们可以更有效地使用它们来解决现实世界的问题。

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实对称矩阵和正交矩阵有什么区别？

正交矩阵

实对称矩阵

区别

正交矩阵是实对称矩阵吗

不一定。实对称矩阵有可能是正交矩阵,但是不是所有的实对称阵都是正交矩阵。

这里的P是是对称矩阵，且刚好P的逆等于P的转置，所以P也是正交矩阵。这只是一种特殊情况。

正交矩阵定义：

如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。

正交矩阵的定理：

在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为+1，则称之为特殊正交矩阵。

阵A正交的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组。

方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基。

A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量。

正交矩阵一定可以对角化：

书上定义合同也不过用的对称，致于一般矩阵有没有合同就不一定了，其实之所以对称矩阵可以正交单位是因为对称矩阵不同特征值的特征向量正交，所以也就只有同个特征值的不同特征向量才须要正交化，联系到特征向量的性质只有同一个特征值对应的特征向量线形表示才不会影响对角化。

什么是正交矩阵？

正交矩阵不一定是实对称矩阵。

实对称矩阵有可能是正交矩阵，但是不是所有的实对称阵都是正交矩阵。 这里的P是是对称矩阵,且刚好P的逆等于P的转置，所以P也是正交矩阵。这只是一种特殊情况。如果AAT=E(E为单位矩阵,AT表示“矩阵A的转置矩阵”)或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵 。

正交矩阵和实对称矩阵的区别：

1、实对称矩阵的定义是：如果有n阶矩阵A，其各个元素都为实数，矩阵A的转置等于其本身，则称A为实对称矩阵。

2、正交变换e在规范正交基下的矩阵是正交矩阵，满足U*U’=U’*U=I。

对称变换e在规范正交基下的矩阵是对称矩阵，满足A’=A。

3、转换矩阵是正交矩阵不代表被转换矩阵一定是实对称矩阵 反过来 实对称矩阵的相似对角化也不一定非要正交矩阵。

扩展资料

矩阵性质

实数方块矩阵是正交的，当且仅当它的列形成了带有普通欧几里得点积的欧几里得空间R的正交规范基，它为真当且仅当它的行形成R的正交基。假设带有正交(非正交规范)列的矩阵叫正交矩阵可能是诱人的，但是这种矩阵没有特殊价值而没有特殊名字；他们只是MM=D，D是对角矩阵。

1.逆也是正交阵;

2.积也是正交阵;

3.行列式的值为正1或负1。

任何正交矩阵的行列式是+1或−1。这可从关于行列式的如下基本事实得出：（注：反过来不是真的；有+1行列式不保证正交性，即使带有正交列，可由下列反例证实。）

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